Question

如图，已知长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝3，BC＝2，CC₁＝5，E是棱CC₁上不同于端点的点，且

    （1） 当∠BEA₁为钝角时，求实数λ的取值范围；

    （2） 若λ＝，记二面角B₁－A₁B－E的的大小为θ，求|cosθ|．

 

Answer 1

解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

     由题设，知B(2，3，0)，A₁(2，0，5)，C(0，3，0)，C₁(0，3，5)．

因为，所以E(0，3，5λ)．

     从而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)

     当∠BEA₁为钝角时，cos∠BEA₁＜0，

     所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

     解得＜λ＜．

     即实数λ的取值范围是(，)．            

（2）当λ＝时，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

设平面BEA₁的一个法向量为n₁＝(x，y，z)，

   取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA₁的一个法向量为n₁＝(1，，1)．  

    易知，平面BA₁B₁的一个法向量为n₂＝(1，0，0)．

    因为cos< n₁，n₂>＝＝，

    从而|cosθ|＝．