Question

20．已知x，y∈R⁺且x+y=4，则使不等式$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$≥m恒成立的实数m的取值范围为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，$\frac{7}{4}$]
• C． （3，+∞）
• D． （-∞，$\frac{9}{4}$]

Answer 1

分析 由题意将x+y=4代入（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围

解答 解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，
则$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=$\frac{9}{4}$，当且仅当x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$时取等号，
∴m≤$\frac{9}{4}$，
故选：D

点评 本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．