Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，AB⊥平面AA₁C₁C，AB=3．
（Ⅰ）求直线A C₁与直线A₁B夹角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由线面垂直的性质和判定，即可得到AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，以A为坐标原点，AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A₁（0，0，4），B（0，3，0），C₁（4，0，4），则

AC1

=（4，0，4），

A1B

=（0，3，-4），再由向量的夹角公式即可得到所求值；
（II）通过（Ⅰ）建立的空间直角坐标系，设出所求的两个平面的法向量，运用向量垂直的条件：数量积为0，再利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．

解答： 解：（I）∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC
又∵AB⊥平面AA₁C₁C，AB⊥AC，AB⊥AA₁，
∴AA₁⊥平面ABC，由AC=4，AB=3，得BC=5，
以A为坐标原点，AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，4），B（0，3，0），
C₁（4，0，4），则

AC1

=（4，0，4），

A1B

=（0，3，-4），
cos＜

AC1

，

A1B

＞=

AC1 • A1B

| AC1 |•| A1B |

=

-16

4 2 •5

=-

2 2

5

．
故直线A C₁与直线A₁B夹角的余弦值为

2 2

5

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），
C₁（4，0，4），∴

BA1

=（0，-3，4），

BC1

=（4，-3，4），

BB1

=（0，0，4），
设平面A₁BC₁的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
平面B₁BC₁的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂）．
则

n1 • BC1 =4x1-3y1+4z1=0 n1 • BA1 =-3y1+4z1=0

，
令y₁=4，解得x₁=0，z₁=3，∴

n1

=（0，4，3），

n2 • BC1 =4x2-3y2+4z2=0 n2 • BB1 =4z2=0

，
令x₂=3，解得y₂=4，z₂=0，∴

n2

=（3，4，0）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

16

25 • 25

=

16

25

．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为

16

25

．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．