Question

设抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，椭圆C₂以F₁和F₂为焦点，离心率e=

1

2

．设P是C₁与C₂的一个交点．
（1）求椭圆C₂的方程．
（2）直线l过C₂的右焦点F₂，交C₁于A₁，A₂两点，且|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由条件，F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C₂的两焦点，离心率为

1

2

，由此能求出C₂的方程和其右准线方程．
（2）△PF₁F₂的周长|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6．设l方程为y=k（x-1），与C₁方程联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦长公式能求出l的方程．

解答： 解：（1）由条件，F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C₂的两焦点，
故半焦距为1，再由离心率为

1

2

知半长轴长为2，
从而C₂的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，其右准线方程为x=4．
（2）由（1）可知△PF₁F₂的周长|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6．
又C₁：y²=4x而F₂（1，0）．
若l垂直于x轴，由题意知|A₁A₂|=4，矛盾，故l不垂直于x轴，
可设其方程为y=k（x-1），与C₁方程联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
从而|A1A2|=

k2+1

•|x₁-x₂|=

k2+1

•

(2k2+4)2-4k4

k2

=

4(k2+1)

k2

，
∵|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，∴|A₁A₂|=6，
解得k²=2，即k=±

2

，
故l的方程为y=

2

(x-1)或y=-

2

（x-1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．