Question

18．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由题意和正弦定理可得$\sqrt{3}$sinCsinA=sinAcosC，由三角形内角的范围和同角三角函数基本关系可得C=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得a的方程，解方程代入S=$\frac{1}{2}$absinC，计算可得．

解答 解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$csinA=acosC，
∴$\sqrt{3}$sinCsinA=sinAcosC，∴$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC=0，
∴$\sqrt{3}$sinC=cosC，∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由三角形内角的范围可得C=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴4a²=a²+12-4$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=-1+$\sqrt{5}$，或a=-1-$\sqrt{5}$（舍去）
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×（-1+\sqrt{5}）×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．