Question

7．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线与椭圆相交于A，B两点，若∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图所示，由∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，可得△ABF₂是等边三角形，利用△ABF₂的周长=3|AF₂|=4a，分别解得|AF₂|，|AF₁|，在△AF₁F₂中，由余弦定理解出即可得出．

解答 解：如图所示，
∵∠BAF₂=60°，|AB|=|AF₂|，
∴△ABF₂是等边三角形，
∴△ABF₂的周长=3|AF₂|=4a，
∴|AF₂|=$\frac{4a}{3}$，
∴|AF₁|=$\frac{2a}{3}$．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=$（\frac{2a}{3}）^{2}$+$（\frac{4a}{3}）^{2}$-2×$\frac{2a}{3}$×$\frac{4a}{3}$cos60°，
化为：a²=3c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．