Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，若点P是其右支上（不同于右顶点）一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，则△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标为3．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=0，可得渐近线方程；将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF₁-PF₂=F₁Q-F₂Q=6，F₁Q+F₂Q=F₁F₂解出OQ，即可求出△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x．
如图设切点分别为M，N，Q，则△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，PF₁-PF₂=2a=6．
由圆的切线性质PF₁-PF₂=F_IM-F₂N=F₁Q-F₂Q=6，
∵F₁Q+F₂Q=F₁F₂=2$\sqrt{13}$，∴F₂Q=3+$\sqrt{13}$，OQ=3，
∴Q横坐标为3．
故答案为：y=±$\frac{2}{3}$x；3．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，巧妙地借助于圆的切线的性质是关键．