Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，cos$\frac{x}{3}$），且函数f（x）满足f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（$\frac{5}{4}$π）的值；
（3）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式和向量的数量积化简可得f（x）解析式；
（2）把x=$\frac{5π}{4}$代入函数解析式化简即可；
（3）由已知式子和题意可得∵$sinα=\frac{5}{13}，cosβ=\frac{3}{5}$，由同角三角函数基本关系可得cosα和sinβ，代入两角和的余弦公式计算可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）可得$f（\frac{5π}{4}）=2sin（\frac{1}{3}×\frac{5}{4}π-\frac{π}{6}）$=$2sin\frac{π}{4}=\sqrt{2}$；
（3）∵$\frac{10}{13}=f（{3α+\frac{π}{2}}）=2sin（{\frac{1}{3}×（{3α+\frac{π}{2}}）-\frac{π}{6}}）=2sinα$，
$\frac{6}{5}=f（3β+2π）=2sin（{\frac{1}{3}×（3β+2π）-\frac{π}{6}}）=2sin（{β+\frac{π}{2}}）=2cosβ$，
∴$sinα=\frac{5}{13}，cosβ=\frac{3}{5}$，
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\sqrt{1-{{（{\frac{5}{13}}）}^2}}=\frac{12}{13}$，$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（{\frac{3}{5}}）}^2}}=\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和向量的数量积，属中档题．