题目内容
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,有$\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}>0$成立,则不等式x•f(x)>0的解集是( )A. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | B. | (-1,0)∪(0,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-1,0)∪(1,+∞) |
分析 构造函数g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,求函数的导数,判断函数g(x)的单调性,将不等式进行转化即可.
解答 解:设g(x)=$\frac{f(x)}{x}$,
则g′(x)=[$\frac{f(x)}{x}$]′=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$>0,即x>0时 $\frac{f(x)}{x}$是增函数,
当x>1时,g(x)>g(1)=0,此时f(x)>0;
0<x<1时,g(x)<g(1)=0,此时f(x)<0.
又f(x)是奇函数,所以-1<x<0时,f(x)=-f(-x)>0;
x<-1时f(x)=-f(-x)<0.
则不等式x•f(x)>0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)<0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x>1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{x<-1}\end{array}\right.$,
即x>1或x<-1,
则不等式xf(x)>0的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞),
故选:A
点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用.在判断函数的单调性时,常可利用导函数来判断.构造函数函数解决本题的关键.
练习册系列答案
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15.用五点法画函数f(x)=2sin2x在长度为一个周期的闭区间上的简图.
x | |||||
2x | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
f(x)=2sin2x |
12.若关于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是( )
A. | [-2,0] | B. | [0,2] | C. | [-2,2] | D. | (-∞,-2)∪(2,+∞) |
19.下列方程中,以x±2y=0为渐近线的双曲线是( )
A. | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 |