Question

12．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线L的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）+8=0，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}k+kcosα}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}k+ksinα}\end{array}\right.$（α为参数且α∈R），若直线L上的点到圆C上的点的最短距离为6，求实数k的值．

Answer 1

分析 首先，得到直线的普通方程和圆的直角坐标方程，然后，借助于点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系求解即可．

解答 解：∵直线L的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）+8=0，
∴x-y+8$\sqrt{2}$=0，
∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}k+kcosα}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}k+ksinα}\end{array}\right.$，
∴（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²=k²，
圆心为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k），
圆心到直线的距离为：d=$\frac{|\sqrt{2}k+8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|k+8|=6+|k|，
∴k=-1，
实数k的值-1．

点评 本题重点考查了直线的极坐标方程和普通方程互化、圆的参数方程和直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．