Question

（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别是CC1，AB的中点，求证：CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以CC1⊥BC．                    ……………………1分
因为AC=BC=2，，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………2分
因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．             ……………………3分
因为AM平面ACC1A1，

所以BC⊥AM．                     ……………………4分
（Ⅱ）连结A1B交AB1于P．             ……………………5分
因为三棱柱ABC-A1B1C1，
所以P是A1B的中点．
因为M，N分别是CC1，AB的中点，
所以NP // CM，且NP = CM，
所以四边形MCNP是平行四边形，     ……………………6分
所以CN//MP．                     ……………………7分
因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，  ………………8分
所以CN //平面AB1M．              ……………………9分
（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．
因为，所以C（0,0,0），A（2,0,0），B1（0,2,4），，，
．                                         ……………………10分
设平面的法向量，则，．
即         ……………………11分
令，则，即．
又平面MB1C的一个法向量是，
所以．  ………………12分
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
所以二面角A-MB1-C的大小为．                 ……………………14分

略