Question

5．（文科）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂，在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，x轴上一点M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$．
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点F₁且斜率为1的直线l与椭圆相交于C、D两点，求△OCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用长轴A₁A₂的长为4，x轴上一点M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）把直线l的方程代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y₁-y₂|的值，即可求△OCD的面积．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$|=$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{1}}$|=a-c，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}-a=2（a-c）}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意，直线l的方程为x-y+1=0，设C（x₁，y₁ ），D（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程整理得7y²-6y-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁y₂=-$\frac{9}{7}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（\frac{6}{7}）^{2}+\frac{36}{7}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}×1×\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．