Question

20．求证：
（1）$\frac{1-co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$=sinα+cosα；
（2）（2-cos²α）（2+tan²α）=（1+2tan²α）（1+cos²α）

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子为sinα+cosα，从而得到答案．
（2）利用同角三角函数关系证得左边=右边=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．

解答 证明：（1）$\frac{1-co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{co{s}^{2}α（sinα+cosα）}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$=sinα+cosα，
即左边=右边，
得证．
（2）左边=（1+1-cos²α）（2+$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$）=（1+sin²α）$•\frac{co{s}^{2}+co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．
右边=（1+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$）（1+cos²α）=$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$（1+cos²α）=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．
所以左边=右边．
得证．

点评 本题考查三角函数的化简和证明，考查同角的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题．