题目内容
15．经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：| 使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 售价 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2-1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
分析 （Ⅰ）由表中数据计算$\overline{x}=\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，$\overline{y}=\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，求出回归系数，即可写出回归直线方程；
（Ⅱ）写出利润函数z=y-w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．
解答 解：（Ⅰ）由表中数据得，$\overline{x}=\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}=\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，
由最小二乘法求得$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{2×16+4×13+6×9.5+8×7+10×4.5-5×6×10}{4+16+36+64+100-5×{6}^{2}}$=-1.45，
$\stackrel{∧}{a}$=10-（-1.45）×6=18.7，
所以y关于x的回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-1.45x+18.7；
（Ⅱ）z=-1.45x+18.7-（0.05x2-1.75x+17.2）
=-0.05x2+0.3x+1.5
=-0.05（x-3）2+1.95，
所以预测当x=3时，销售利润z取得最大值．
点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
练习册系列答案
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