Question

2．如图所示，边长为2的正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F为棱AE的中点．
（1）求证：直线AB⊥平面CDF；
（2）求三棱锥F-ADC的体积．．

Answer 1

分析 （1）如图，取AB中点M，连接MF，MC，由三角形中位线定理可得MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，结合CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，可得四边形MFDC为平行四边形，得MC∥FD，再由△ABC为正三角形，点M为AB中点，可得DF⊥AB，再由面面垂直的性质可得CD⊥AB，最后由线面垂直的判定得AB⊥平面CDF；
（2）在梯形BCDE中，求出三角形EDC的面积，再求出棱锥A-BCDE的高，然后利用等积法求得三棱锥F-ADC的体积．

解答 （1）证明：如图，取AB中点M，连接MF，MC，
∵M为AB中点，∴MF平行且等于$\frac{1}{2}BE$，
又CD平行且等于$\frac{1}{2}BE$，∴MF平行且等于CD，
∴四边形MFDC为平行四边形，得MC∥FD；
∵△ABC为正三角形，点M为AB中点，∴CM⊥AB，
从而DF⊥AB；
又∵平面ABC⊥平面BCDE，CD⊥BC，平面ABC∩平面BCDE=BC，
∴CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AB，
又∵CD∩DF=D，
∴AB⊥平面CDF；
（2）解：在梯形BCDE中，
∵BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，BC=2，
∴${S}_{△EDC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
过A作AO⊥BC，垂足为O，
由平面ABC⊥平面BCDE，且平面ABC∩平面BCDE=BC，
可得AO⊥平面BCDE，而AO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${V_{F-ADC}}={V_{A-FDC}}={V_{E-FDC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-EDC}}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．