Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为T_n，a₁=1且a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=2n-1，则T₈-2等于（　　）

• A． $\frac{31}{32}$
• B． $\frac{255}{64}$
• C． $\frac{63}{64}$
• D． $\frac{127}{128}$

Answer 1

分析 构造当n≥2时，a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-2a_n-1=2n-3，与原式相减，即可求得a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，当n=1时，不满足，故求得数列{a_n}的通项公式，求得T₈-2的值．

解答 解：由a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-1a_n=2n-1，
当n≥2时，a₁+2a₂+4a₃+…+2^n-2a_n-1=2n-3，
两式相减得：2^n-1a_n=2，
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
当n=1时，a₁=1，不满足满足，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-2}}&{n≥2}\end{array}\right.$
∴T₈=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$=2+$\frac{63}{64}$，
T₈-2=$\frac{63}{64}$，
故答案为：C．

点评 本题考查数列的递推公式，考查等比数列的前n项和公式，考查学生的观察及计算能力，属于中档题．