Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且点(1，

3

2

)在该椭圆上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁的直线l与椭圆相交于A，B两点，若△AOB的面积为

6 2

7

，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a²=b²+c²，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（2）先看当l与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．

解答： 解：（1）由题意，

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1

，
∴a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1----（4分）
（2）当直线l⊥x轴时，△AOB的面积为

3

2

，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0
代入椭圆方程，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0联立，韦达定理，△＞0显然成立----------（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴|AB|=

12(k2+1)

3+4k2

----------（8分）
∴S△AOB=

6|k| 1+k2

3+4k2

=

6 2

7

，即17k⁴+k²-18=0，k²=1…（10分）
∴r=

2

2

，∴圆的方程为x2+y2=

1

2

…(12分)

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查运算能力．