题目内容
设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ、DE，且DJ⊆DE，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=e-x（x-1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e-x（1-x）；
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
④?x1，x2∈R，都有|g（x1）-g（x2）|＜2．
其中所有正确命题的序号是 ．
①当x＜0时，g（x）=e-x（1-x）；
②函数g（x）有3个零点；
③g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
④?x1，x2∈R，都有|g（x1）-g（x2）|＜2．
其中所有正确命题的序号是
考点：函数零点的判定定理,函数的值
专题：函数的性质及应用
分析：设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断
解答：
解：由题意得，x＞0时，g（x）=f（x）=e-x（x-1），
当x＜0时，则-x＞0，g（-x）=f（-x）=ex（-x-1）=-g（x），所以g（x）=ex（x+1），
故①不正确；
对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=ex（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；
当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且g（-2）＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；
由于函数-1＜g（x）＜1，故有对?x1，x2∈R，|g（x2）-g（x1）|＜2恒成立，
即④正确．
故答案为：②③④．
当x＜0时，则-x＞0，g（-x）=f（-x）=ex（-x-1）=-g（x），所以g（x）=ex（x+1），
故①不正确；
对x＜0时的解析式求导数可得，g′（x）=ex（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；
当x∈（-2，+∞）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且g（-2）＞-1，且在x=1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②③正确；
由于函数-1＜g（x）＜1，故有对?x1，x2∈R，|g（x2）-g（x1）|＜2恒成立，
即④正确．
故答案为：②③④．
点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题．作出函数的图象是解决问题的
练习册系列答案
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的定义域是一切实数,则
的取值范围是（ ）
的棱长为
，点
在棱
上，且
，点
是平面
上的动点，且动点
的距离与点
，则动点
的轨迹是 （ ） 
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为棱BC的中点．