Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，AC与BD交于O点，E为PC的中点，AD=CD=1，PD=2，DB=2

2

．
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=H，得到EH是三角形PAC的中位线，故EH∥PA，从而证明PA∥平面BDE．
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥AC，由（Ⅰ）知，BD⊥AC，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）取线段CD的中点F，则EF∥PD，利用V_B-AEC=V_E-ABC，即可求三棱锥B-AEC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接OE，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以O为AC的中点，
又由题设知E为PC的中点，故EO是三角形PAC的中位线，故EO∥PA，
又EO?平面BDE，PA?平面BDE，所以，PA∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，PD⊥AC．
由（Ⅰ）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：取线段CD的中点F，则EF∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，EF=1，
△ADC为等腰直角三角形，AD=CD=1，
∴AC=

2

，DO=

2

2

，DB=

3 2

2

，
∴V_B-AEC=V_E-ABC=

1

3

S_△ABC•EF=

1

2

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，推出AC垂直于BD是解题的关键．