Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA=a，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：PA∥平面BOD．
（2）求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由O、D分别为AC、PC中点，知OD∥PA，由此能证明PA∥平面BOD．
（2）以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出异面直线PA与BD所成角余弦值的大小．

解答 证明：（1）∵O、D分别为AC、PC中点，
∴OD∥PA，
又PA?平面BOD，OD?平面BOD，
∴PA∥平面BOD．
解：（2）∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB⊥BC，AB=BC=PA=a，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，0，$\frac{\sqrt{2}}{4}a$），
$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$\frac{\sqrt{2}}{4}a$），
设异面直线PA与BD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．