Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=1，数列{b_n}满足b₁=4，b_n+1=3b_n-2；
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_nlog₃（b_2n-1-1），其前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据递推公式分别求出{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）由错位相减求和法求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）①当n=1时，a₁+S₁=1∴a₁=

1

2

②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴a_n=

1

2

a_n-1
∴数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列；
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ
∵b_n+1=3b_n-2
∴b_n+1-1=3（b_n-1）
又∵b₁-1=3∴{b_n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列
∴b_n-1=3ⁿ、
∴b_n=3ⁿ+1       
（2）∵c_n=（

1

2

）ⁿ•log₃3^2n-1=（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
∴S_n=1×

1

2

+3×（

1

2

）²+5×（

1

2

）³+…+（2n-3）•（

1

2

）^n-1+（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
∴

1

2

S_n=1×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+5×（

1

2

）⁴+…+（2n-3）•（

1

2

）ⁿ+（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴（1-

1

2

）S_n=1×

1

2

+2[（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-4×（

1

2

）ⁿ⁺¹-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-（2n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴S_n=3-

2n+3

2n

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．