Question

19．已知函数f（x）=|x|（1+ax），设关于x的不等式f（x+a）＞f（x）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 f（x）=|x|（1+ax）=0，可得x=0或-$\frac{1}{a}$，根据y=f（x+a）是由y=f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位得到，结合关于x的不等式f（x+a）＞f（x）对任意x∈R恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，即可得出结论．

解答 解：f（x）=|x|（1+ax）=0，可得x=0或-$\frac{1}{a}$，
y=f（x+a）是由y=f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位得到，
∵关于x的不等式f（x+a）＞f（x）对任意x∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-a＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
∴a＜-1或a＞1，
故选A．

点评 本题考查函数的图象变换，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．