Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[

a

2

，a+1]上不单调，求a|a-3|的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设函数f（x）=ax²+bx+c，由题意得

c=3 4ac-b2 4a =1 4a+2b+c=3

，解得a．b．c的值后，可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[

a

2

，a+1]上不单调，则

a

2

＜1＜a+1，求出a的范围后，结合二次函数的图象和性质可得a|a-3|的值域．

解答： 解：（1）设函数f（x）=ax²+bx+c，由题意得

c=3 4ac-b2 4a =1 4a+2b+c=3

．
解得

a=2 b=4 c=3

，…（5分）
∴所求解析式f（x）=2x²+4x+3． …（6分）
（2）由题意知对称轴在区间[

a

2

，a+1]内，即

a

2

＜1＜a+1，…（8分）
解得0＜a＜2．  …（10分）
∴a|a-3|=-a²+3a，（0＜a＜2），…（12分）
当a=0时，-a²+3a取最小值0，
当a=

3

2

时，-a²+3a取最大值

9

4

，
其值域为（0，

9

4

]．…（14分）

点评：本题考查的知识点是待定系数法求函数的解析式，二次函数在定区间上的最值和值域，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．