Question

6．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）进行解题即可．

解答 解：由柯西不等式，得（x+2y+z）²≤（1²+2²+1²）•（x²+y²+z²），
即$x+2y+z≤\sqrt{{1^2}+{2^2}+{1^2}}•\sqrt{{x^2}+{y^2}+{z^2}}$，…（5分）
又因为x+2y+z=1，所以${x^2}+{y^2}+{z^2}≥\frac{1}{6}$，
当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$，即$x=z=\frac{1}{6}，y=\frac{1}{3}$时取等号．
综上，${（{{x^2}+{y^2}+{z^2}}）_{min}}=\frac{1}{6}$．…（10分）

点评 本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）进行解决．