Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n²+na_n+α，首项a₁=3．
（Ⅰ）当n∈N^*时，a_n≥2n恒成立，求α的取值范围；
（Ⅱ）若α=-2，求证：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先利用赋值法求得α，再利用数学归纳法证明成立，即得结论；
（Ⅱ）利用放缩法得当n≥2时，由a_n+1=a_n²+na_n+α得，a_n+1-2≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，a_n-2≥2^n-2（a₂-4）＞2^n-1，即

1

an-2

＜(

1

2

)n-1，
故

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1利用等比数列求和公式得出数列的和，即得结论成立．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=3≥2×1=2成立，得α∈R，
当n=2时，a₂=12+α≥2×2，得α≥-8，
而当α≥-8时，若a_n≥2n，则a_n+1=a_n²+na_n+α≥（2n）²+n×2n-8=2（n+1）+2n（3n-1）-10≥2（n+1），
∴α的取值范围是[-8，+∞）；
（Ⅱ）当α=-2时，

1

a1-2

=1，

1

a2-2

=

1

10-2

=

1

8

，
当n≥2时，由a_n+1=a_n²+na_n+α得，a_n+1-2≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，
∴a_n-2≥2^n-2（a₂-2）＞2^n-1，∴

1

an-2

＜(

1

2

)n-1，
∴

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1＜2．

点评：本题主要考查递推数列的性质及等比数列求和、数学归纳法知识，考查恒成立问题的转化及先猜后证和赋值法的运用能力，考查不等式的放缩等，综合性强属难题．