Question

若过抛物线y²=4x焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为原点，且∠AOB=120°，则△AOB的面积为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联解消去x可得y²-

4

k

y-4=0，利用根与系数的关系算出y₁y₂=-4，x₁x₂=1，再结合向量的数量积公式，即可得出结论．．

解答： 解：根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程消去x，得y²-

4

k

y-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根与系数的关系可得y₁y₂=-4，x₁x₂=1，
设|OA|=m，|OB|=n，则
∵∠AOB=120°，
∴

OA

•

OB

=mncos120°=-

1

2

mn，
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3，
∴mn=6，
∴△AOB的面积为

1

2

mnsin60°=

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：本题考查抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．