设f(x)是定义在[a.b]上的函数.若存在c∈在[a.c]上单调递增.在[c.b]上单调递减.则称f(x)为[a.b]上单峰函数.c为峰点．=14(x2-2x)(x2-2x+2t2)为[a.b]上的单峰函数.求t的取值范围及b-a的最大值,(2)设fn(x)=2014+px-(x+x22+x33+-+xn+1n+1+p3xn+4n+4).其中n∈N*.p＞2．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上单调递增，在[c，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上单峰函数，c为峰点．
（1）已知f（x）=

（x²-2x）（x²-2x+2t²）为[a，b]上的单峰函数，求t的取值范围及b-a的最大值；
（2）设f_n（x）=2014+px-（x+

+…+

xn+1

n+1

p3xn+4

n+4

），其中n∈N^*，p＞2．
①证明：对任意n∈N^*，f_n（x）为[0，1-

]上的单峰函数；
②记函数f_n（x）在[0，1-

]上的峰点为c_n，n∈N^*，证明：c_n＜c_n+1．

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数f（x）的导数，根据f（x）为[a，b]上的单峰函数，建立条件关系即可求t的取值范围及b-a的最大值；
（2）①根据单峰函数的定义进行证明，②根据峰点为c_n的性质，建立不等式关系即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=

（x²-2x）（x²-2x+2t²），
∴函数的导数f′（x）=（x-1）（x²-2x+t²），
方程x²-2x+t²=0的判别式△=4（1-t）（1+t），
当△≥0时，即t≥1或t≤-1时，x²-2x+t²≥0恒成立，此时当x≤1时，f′（x）≤0，此时f（x）单调递减，
当x≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）单调递增，
∴f（x）不是单峰函数，
当△＜0，即-1＜t＜1，方程x²-2x+t²=0的两根x₁=1-

1-t2

，x₂=1+

1-t2

，则（x₁＜1＜x₂）
则f′（x）=（x-x₁）（x-1）（x-x₂），
列表如下，

x	（-∞，x₁）	（x₁，1）	（1，x₂）	（x₂，+∞）
f′（x）	-	+	-	+
f（x）	递减	递增	递减	递增

∴f（x）在[x₁，x₂]上单峰函数，1为峰点，
b-a=x₂-x₁=2

1-t2

≤2，当且仅当t=0时取等号，
综上若f（x）为[a，b]上的单峰函数，t的取值范围（-1，1]，b-a的最大值2；
（2）①∵f_n（x）=2014+px-（x+

+…+

xn+1

n+1

p3xn+4

n+4

），
∴f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
设g_n（x）=f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
则g_n′（x）=-（1+2x+3x²+…+nx^n-1+（n+3）p³xⁿ⁺²），
∵n∈N^*，p＞2，∴x∈[0，1-

]时，x≥0，g_n′（x）≤-1＜0，
∴g_n（x）=f_n′（x）在∈[0，1-

]上单调递减，
又f_n′（0）=p-1＞0，f_n′（1-

）=p-[（1+（1-

）²+…+（1-

）ⁿ+p³（1-

）ⁿ⁺³]=p-[

1-(1-

)n+1

1-(1-

)

+p3(1-pn+3)]=p²（2-p）（1-

）ⁿ⁺¹＜0，
∴函数f_n′（x）在∈[0，1-

]内存在零点，记为c_n．
∴x∈（c_n，1-

）时，f_n′（x）＜0，f_n（x）在[c_n，1-

]上单调递减，
∴对任意n∈N^*，f_n（x）为[0，1-

]上的单峰函数；
②∵f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
∴f_n+1′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ⁺¹+p³xⁿ⁺⁴）=p-1+x（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³）=p-1-x[p-f_n′（x）]=xf_n′（x）-px+p-1，
故f_n+1′（c_n）=c_nf′（c_n）-pc_n+p-1，而c_n为f_n′（x）的峰点，
∴f_n′（c_n）=0，∴f_n+1′（c_n）=-pc_n+p-1，
又c_n∈（0，1-

），∴f_n+1′（c_n）＞f_n+1′（c_n+1），
由①知f_n+1′（x）在[c_n，1-

]上单调递减，∴c_n＜c_n+1

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用单峰函数的定义是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强，难度非常大．