Question

13．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上．
（Ⅰ）求证：BC⊥PB；
（Ⅱ）若AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，Q为AC的中点，求PA的长度以及二面角Q-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，由AD⊥平面PBC得AD⊥BC，故而BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB；
（II）根据△PAB的面积即可得出PA的长，建立坐标系，求出平面PBQ的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{AD}$的坐标，即可得出二面角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD⊥平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD⊥BC
又PA?平面PAB，AD?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB
∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB．                    
（Ⅱ）解：∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB，
设PA=x，则PB=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}PB•AD$=$\frac{1}{2}AB•PA$，
即$\sqrt{{x}^{2}+4}•\sqrt{3}$=2x，解得x=2$\sqrt{3}$，即PA=2$\sqrt{3}$．
由（1）知BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB，
以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），Q（1，1，0），
P（0，0，2$\sqrt{3}$），C（2，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}$=（1，1，-2$\sqrt{3}$），
设平面PBQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2\sqrt{3}z=0}\\{x+y-2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{3}$，AB=2，则BD=1，∴D（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵AD⊥平面PBC，∴$\overrightarrow{AD}$是平面PBC的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角Q-PB-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题．