题目内容
11．若实数a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，则当$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$取最小值时，c的值为（ ）| A． | $\frac{5}{11}$ | B． | $\frac{2}{11}$ | C． | $\frac{1}{11}$ | D． | 0 |
分析 实数a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，可得$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$=$\frac{1}{9}$（10a+9b）$（\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}）$=$\frac{1}{9}$（101+$\frac{90b}{a}+\frac{10a}{9b}$），利用基本不等式的性质可得最小值，可得取最小值时的a，b，即可得出c．
解答 解：实数a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，
则$\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}$=$\frac{1}{9}$（10a+9b）$（\frac{10}{a}+\frac{1}{9b}）$=$\frac{1}{9}$（101+$\frac{90b}{a}+\frac{10a}{9b}$）≥$\frac{1}{9}$$（101+10×2×\sqrt{\frac{9b}{a}×\frac{a}{9b}}）$=$\frac{121}{9}$，
当且仅当a=9b=$\frac{9}{11}$时取等号．
∴c=1-$\frac{9}{11}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{11}$．
故选：C．
点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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