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设P为双曲线
x
2
4
-y
2
=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是______．
试题答案
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设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程得x
2
-4y
2
=1，即为所求．
∴点M的轨迹方程x
2
-4y
2
=1．
答案：x
2
-4y
2
=1
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设P是双曲线
x
2
4
-
y
2
12
=1
右分支上任意一点，F
1
，F
2
分别为左、右焦点，设∠PF
1
F
2
=α，∠PF
2
F
1
=β（如图），求证
3tan
α
2
=tan
β
2
．
设P为双曲线
x
2
4
-y
2
=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是
．
（2013•奉贤区二模）直线x=2与双曲线
C：
x
2
4
-
y
2
=1
的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若
OP
=a
OA
+b
OB
（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a
2
+b
2
≥2
B．
a
2
+
b
2
≥
1
2
C．a
2
+b
2
≤2
D．
a
2
+
b
2
≤
1
2
直线x=2与双曲线
C：
x
2
4
-
y
2
=1
的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若
OP
=a
OA
+b
OB
（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a
2
+b
2
≥2
B．
a
2
+
b
2
≥
1
2
C．a
2
+b
2
≤2
D．
a
2
+
b
2
≤
1
2
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