Question

设P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证3tan

α

2

=tan

β

2

．

Answer 1

分析：设出内切圆的圆心及它与x 轴的切点N，半径为r，则M与N有相同的横坐标，由双曲线的定义及切线长定理得到N到2个焦点的距离，计算2个半角的正切值，等式得到证明．

解答：解：P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，
∴a=2，b=2

3

，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
设△PF₁F₂的内切圆圆心为M，内切圆与x 轴的切点为N，半径为r，则M与N有相同的横坐标，
由双曲线的定义|pF₁|-|PF₂|=4，及切线长定理得，|NF₁|-|NF₂|=4，
又|NF₁|+|NF₂|=2c=8，∴|NF₁|=6，|NF₂|=2，
则tan

α

2

=

r

|NF1|

=

r

6

，tan

β

2

=

r

|NF2|

=

r

2

，
∴3tan

α

2

=tan

β

2

．

点评：本题考查双曲线的综合应用．