Question

（2013•奉贤区二模）直线x=2与双曲线C：

x2

4

-y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若

OP

=a

OA

+b

OB

（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）

• A．a²+b²≥2
• B．a2+b2≥

  1

  2

• C．a²+b²≤2
• D．a2+b2≤

  1

  2

Answer 1

分析：确定A，B的坐标，根据

OP

=a

OA

+b

OB

，确定坐标之间的关系，可得ab=

1

4

，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：解：由题意，A（2，1），B（2，-1），
设P（x，y），则∵

OP

=a

OA

+b

OB

∴x=2a+2b，y=a-b
∵P为双曲线C上的任意一点，
∴

(2a+2b)2

4

-(a-b)2=1
∴4ab=1
∴ab=

1

4

∴a2+b2≥2ab=

1

2

故选B．

点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．