题目内容
为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：
| 利用时间充分 | 利用时间不充分 | 合计 | |
| 走读生 | |||
| 住校生 | 10 | ||
| 合计 |
（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．
考点：频率分布直方图,列举法计算基本事件数及事件发生的概率
专题：概率与统计
分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；
（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；
（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．
（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；
（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．
解答：
解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），
由图可知：P1=
×30=
，P2=
×30=
，
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=
，
由题意：n×
=5
∴n=100，
又P3=
×30=
，P5=
×30=
，
P6=
×30=
，P7=
×30=
，P8=
×30=
，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=
，
∴第④组的高度为：h=
×
=
=
，
频率分布直方图如右图
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，
从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2=
=
≈3.030，
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；
（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”
所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、
B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；
记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，
则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、
A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，
∴P（A）=
=
，
即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为
．
由图可知：P1=
| 1 |
| 1500 |
| 2 |
| 100 |
| 1 |
| 1000 |
| 3 |
| 100 |
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=
| 5 |
| 100 |
由题意：n×
| 5 |
| 100 |
∴n=100，
又P3=
| 1 |
| 375 |
| 8 |
| 100 |
| 1 |
| 100 |
| 30 |
| 100 |
P6=
| 1 |
| 120 |
| 25 |
| 100 |
| 1 |
| 200 |
| 15 |
| 100 |
| 1 |
| 600 |
| 5 |
| 100 |
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=
| 12 |
| 100 |
∴第④组的高度为：h=
| 12 |
| 100 |
| 1 |
| 30 |
| 12 |
| 3000 |
| 1 |
| 250 |
频率分布直方图如右图
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，
从而2×2列联表如下：
| 利用时间充分 | 利用时间不充分 | 总计 | |
| 走读生 | 30 | 15 | 45 |
| 住宿生 | 45 | 10 | 55 |
| 总计 | 75 | 25 | 100 |
K2=
| 100(30×10-45×15)2 |
| (30+45)(15+10)(30+15)(45+10) |
| 100 |
| 33 |
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；
（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”
所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、
B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；
记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，
则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、
A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，
∴P（A）=
| 6 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．
练习册系列答案
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已知双曲线C：
-
=1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若
+
与向量
=（-3，-1）共线，则双曲线C的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OA |
| OB |
| n |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、3 |
不等式|x+1|+1＞0的解集是（ ）
| A、R | B、∅ |
| C、（0，2） | D、（-1，1） |