题目内容
已知双曲线C：
-
=1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若
+
与向量
=（-3，-1）共线，则双曲线C的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OA |
| OB |
| n |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、3 |
考点：双曲线的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出双曲线的左焦点和直线AB的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标运算即可得到a2=3b2，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
解答：
解：双曲线C：
-
=1(a＞0，b＞0)的左焦点为（-c，0），
斜率为1的直线方程设为y=x+c，
代入双曲线的方程得（b2-a2）x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，y1+y2=x1+x2+2c=
+2c=
，
若
+
与向量
=（-3，-1）共线，则有y1+y2=
（x1+x2），
即有a2=3b2，即c2=a2+b2=
a2，
即e=
=
．
故选B．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
斜率为1的直线方程设为y=x+c，
代入双曲线的方程得（b2-a2）x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| 2a2c |
| b2-a2 |
| 2a2c |
| b2-a2 |
| 2b2c |
| b2-a2 |
若
| OA |
| OB |
| n |
| 1 |
| 3 |
即有a2=3b2，即c2=a2+b2=
| 4 |
| 3 |
即e=
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
故选B．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查向量的坐标运算，由直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理是解题的关键．
练习册系列答案
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，
]恒成立，则实数m的范围为（ ）
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
A、-
| ||
B、m＞-
| ||
| C、m＞0 | ||
| D、m＞1 |