Question

15．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+a₃=2b₃，b₅-3a₂=7．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由题意q＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由题意q＞0，
由已知可得：$\left\{{\begin{array}{l}{2{q^2}-3d=2}\\{{q^4}-3d=10}\end{array}}\right.$，消去d得q⁴-2q²-8=0，
解得q=2，d=2，
∴${a_n}=2n-1，n∈{{N}^*}$，${b_n}={2^{n-1}}，n∈{{N}^*}$
（Ⅱ）由（ I）有${c_n}=（{2n-1}）{2^{n-1}}$，设{c_n}的前n项和为S_n，
则${S_n}=1×{2^0}+3×{2^1}+5×{2^2}+…+（{2n-1}）×{2^{n-1}}$，
$2{S_n}=1×{2^1}+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（{2n-1}）×{2^n}$，
两式相减得$-{S_n}=1+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-（{2n-1}）×{2^n}=-（{2n-3}）×{2^n}-3$，
∴${S_n}=（{2n-3}）{2^n}+3$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．