Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有S_n=2ⁿ⁺¹-2；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（3n-1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n，当n=1时，a1=S1=22-2=2，符合上式，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （本题满分14分）
解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，∴当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，…（1分）
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n，…（4分）
当n=1时，a1=S1=22-2=2，符合上式，…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n．（n∈N^*）…（6分）
（2）解：由（1）得b_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）•2ⁿ，…（7分）
∴{b_n}的前n项和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①…（8分）
2T_n=2×2²+5×2³+8×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②…（9分）
由①-②得，
-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6(1-2n)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8，…（13分）
∴Tn=(3n-4)×2n+1+8…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．