Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，若数列{a_n}满足a_n=f（$\frac{n}{1000}$）（n=1，2，…，1000），求数列{a_n}的前₉₉₉项和S₉₉₉．

Answer 1

分析 由于f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{1}{2}$．即可得出．

解答 解：∵f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2×{4}^{x}}$=$\frac{2}{2×{4}^{x}+4}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2×{4}^{x}}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}的前999项和S₉₉₉=$f（\frac{1}{1000}）+f（\frac{2}{1000}）$+…+$f（\frac{999}{1000}）$=$\frac{1}{2}$$\{[f（\frac{1}{1000}）+f（\frac{999}{1000}）]$+$[f（\frac{2}{1000}）+f（\frac{998}{1000}）]$+…+$[f（\frac{999}{1000}）+f（\frac{1}{1000}）]$
=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×999）$=$\frac{999}{4}$．

点评 本题考查了数列求和、函数的性质，考查了变形能力、计算能力，属于中档题．