Question

16．若对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（2）若f（1）=8，求f（-n），（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可解得f（0）=0，再令y=-x，即可证得y=f（x）是奇函数；
（2）利用f（1）=3，f（x+y）=f（x）+f（y），可求得f（3），再利用y=f（x）是奇函数即可求得f（-3）的值．

解答 证明：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
解得f（0）=0；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是奇函数；
（2）解：∵f（1）=8，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=6，
f（n）=8n．
又y=f（x）是奇函数；
∴f（-n）=-f（n）=-8n．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，考查函数奇偶性的判断与应用，属于中档题．