Question

19．已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且xf（x+1）=（x+1）f（x）对任意实数x恒成立，则$f[f（\frac{5}{2}）]$的值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x）周期为1，计算f（$\frac{1}{2}$）和f（0），根据周期得出f（$\frac{5}{2}$），从而得出答案．

解答 解：令x=-$\frac{1}{2}$得-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{2}$）=0，
令x=0得f（0）=0，
∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴$\frac{f（x+1）}{x+1}=\frac{f（x）}{x}$．
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x+1）=g（x），
∴g（x）的周期为1，
∴g（$\frac{5}{2}$）=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$=0，
即g（$\frac{5}{2}$）=$\frac{f（\frac{5}{2}）}{\frac{5}{2}}$=0，∴f（$\frac{5}{2}$）=0，
∴f（f（$\frac{5}{2}$））=f（0）=0．
故选A．

点评 本题考查了抽象函数的周期，构造函数g（x）是关键，属于中档题．