题目内容
9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，设A，B分别为椭圆的左右顶点，M为椭圆上异于A，B的任一点．（1）求椭圆的方程；
（2）若直线MA与直线x=4相交于点P，过点P作直线MB的垂直，垂足为H，求点H的轨迹方程．
分析 （1）由已知中短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，可得a2，b2，进而得到椭圆的方程；
（2）延长PH，交x轴于点Q，进而得到点H在以BQ为直径的圆上，（不包括BQ两点），可得点H的轨迹方程．
解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，
∴a=2c，…①
又∵过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3…②
结合a2=b2+c2得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）延长PH，交x轴于点Q，
设M（x0，y0），则AM的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，
当x=4时，y=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，即P点坐标为：（4，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
设Q点坐标为（m，0），则kPQ=$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{4-m}$=$\frac{6{y}_{0}}{{（x}_{0}+2）（4-m）}$，
∵MB⊥PQ，
∴kPQ•kMB=-1，
∴$\frac{6{y}_{0}}{{（x}_{0}+2）（4-m）}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=-1，
即$\frac{6{{y}_{0}}^{2}}{{{（x}_{0}}^{2}-4）（4-m）}$=-1，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，故${{y}_{0}}^{2}=3-\frac{{{3x}_{0}}^{2}}{4}$，
即$\frac{6（3-\frac{{{3x}_{0}}^{2}}{4}）}{{{（x}_{0}}^{2}-4）（4-m）}$=-1，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，
∴Q点坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），
∵HQ⊥HB，
∴点H在以BQ为直径的圆上，（不包括BQ两点），
由B点坐标为（2，0），得BQ的中点坐标为（$\frac{3}{4}$，0），|BQ|=$\frac{5}{2}$，
∴H的轨迹方程为：$（x-\frac{3}{4}）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{16}（y≠0）$
点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程直线与椭圆的位置综合应用，难度中档．
| 成绩 性别 | 合格 | 不合格 | 合计 |
| 男性 | 45 | 10 | |
| 女性 | 30 | ||
| 合计 | 105 |
（2）根据列联表判断性别与考试成绩是否有关系，如果有关系求出精确地可信度，没关系请说明理由．
| A． | V=S | B． | V=2S | C． | 2V=S | D． | V=$\sqrt{2}$S |
如图，已知半圆O：x2+y2=1（y≥0）及点A（2，0），B为半圆周上任意一点，以AB为一边作等边△ABM．设∠AOB=θ，其中0＜θ＜π．