Question

已知动点M（x，y）到两定点F₁（0，2）、F₂，（0，-2）距离之和为8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A，B两点，若OA⊥OB，求出直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于8＞|F₁F₂|=4，可得点M（x，y）的轨迹C为椭圆，设标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．c=2，2a=8，利用b²=a²-c²即可得出．
（2）设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得（4+3k²）x²+18kx-21=0，得到根与系数的关系．由于OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0．把根与系数的关系代入解出即可．

解答： 解：（1）∵8＞|F₁F₂|=4，
∴点M（x，y）的轨迹C为椭圆，
设标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
则a=4，c=2，b²=a²-c²=12．
∴点M（x，y）的轨迹C的方程为：

y2

16

+

x2

12

=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，化为（4+3k²）x²+18kx-21=0，
△=（18k）²+84（4+3k²）＞0，
∴x₁+x₂=

-18k

4+3k2

，x1x2=

-21

4+3k2

．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0．
代入可得

-21(1+k2)

4+3k2

-

54k2

4+3k2

+9=0，化为k2=

5

16

．
解得k=±

5

4

．
∴直线l的方程为：y=±

5

4

x+3．

点评：本题考查了直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．