Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．
（1）求证：PA∥平面BEF；
（2）若二面角F-BE-C为60°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．（用向量法解答）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC交BE于点M，连接FM，证明FM∥AP，利用线面平行的判定定理，可得PA∥平面BEF；
（2）以E为坐标原点，EB，EA，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则设P（0，0，t），向量

PE

=（0，0，-t）即为平面BEC的法向量，设平面BEF的法向量为

n

=（x，y，z），由向量垂直的条件，得到方程，求得一个法向量，再由二面角与两个法向量的夹角的关系，求出t，再由线面垂直，得到∠PBE即为直线PB与平面ABCD所成角，解直角三角形PBE即可．

解答： （1）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．
由EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP，
又∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF；
（2）以E为坐标原点，EB，EA，EP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则设P（0，0，t），
由于PE⊥平面ABCD，则向量

PE

=（0，0，-t）即为平面BEC的法向量，
由于AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，
则四边形BCDE为矩形，B（3，0，0），C（3，-2，0），
由于F为PC上一点，且CF=2FP，则有F（1，-

2

3

，

2

3

t），
则

EF

=（1，-

2

3

，

2

3

t），

EB

=（3，0，0），
设平面BEF的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

⊥

EF

即有

n

•

EF

=0，即x-

2

3

y+

2

3

zt=0，
又

n

•

EB

=0，即3x=0，则可取

n

=（0，1，

1

t

），
由二面角F-BE-C为60°，则

PE

与

n

的夹角为120°，
即有cos120°=

n • PE

| PE |•| n |

=

-1

t 1+ 1 t2

=-

1

2

，
解得，t=

3

．
即P（0，0，

3

）．PB=

9+3

=2

3

，
由于PE⊥平面ABCD，则∠PBE即为直线PB与平面ABCD所成角．
在直角三角形PBE中，cos∠PBE=

BE

PB

=

3

2 3

=

3

2

．
故直线PB与平面ABCD所成角为arccos

3

2

=

π

6

．

点评：本题考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的性质定理，考查空间二面角的求法以及线面角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．