Question

19．函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+asinx（x∈R）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，则g（x）=asin（a+1）x的最小正周期是$\sqrt{2}$π．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角的正弦公式化简函数f（x）的解析式，正弦函数的图象的对称性可得 f（0）=f（$\frac{π}{4}$），求得a的值，再根据正弦函数的周期性，求得g（x）的最小正周期．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）+asinx=sin（$\frac{π}{2}$+x）+asinx=cosx+asinx 的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{π}{4}$），即 1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，求得 a=$\sqrt{2}$-1，∴g（x）=asin$\sqrt{2}$x的最小正周期为$\frac{2π}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$π，
故答案为：$\sqrt{2}$π．

点评 本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于基础题．