Question

10．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，其中n∈N⁺，设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$，若存在正整数m，n使得b₁，b_m，b_n成等比数列，则m+n=14．

Answer 1

分析 由已知条件推导出数列{a_n}是公比为2的等比数列．由此能求出an=2n，n∈N^*．由b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$，若b₁，b_m，b_n成等比数列，由等比中项的性质得到
（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$$•\frac{n}{2n+1}$．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比数列．

解答 解：∵a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列．
又a₁=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n，n∈N^*．
∵b_n=$\frac{{na}_{n}}{（2n+1）{2}^{n}}$=$\frac{n}{2n+1}$，要使b₁，b_m，b_n成等比数列，则（b_m）²=b₁•b_n，（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$$•\frac{n}{2n+1}$，
得$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}=\frac{n}{6n+3}$，所以$\frac{3}{n}=\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比数列，此时m+n=14．
故答案为：14

点评 本题考查数列的通项公式的求法、等比中项的性质；关键是由m，n的关系得到关于m的不等式求出m的范围．