Question

5．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=3，直线AD₁，DC₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{19}}{10}$．

Answer 1

分析 取四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD₁，DC₁所成角的正弦值．

解答 解：取四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直棱柱，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=1，AA₁=3，
∴A（1，0，0），D₁（0，0，3），D（0，0，0），C₁（0，1，3），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，3），
设直线AD₁，DC₁所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{|9|}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{9}{10}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{9}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{10}$．
∴直线AD₁，DC₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{19}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{19}}{10}$．

点评 本题考查两直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．