Question

15．已知函数f（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）当x∈（0，+∞）时，求证：$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

Answer 1

分析 （1）a=1时，求f（x）的导函数，计算曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k，写出该点处的切线方程；
（2）由f（x）＜0恒成立，即$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1＜0，分离参数a＜（x-1）e^x，构造辅助函数，g（x）=（x-1）e^x，求导，利用导数求得函数的单调区间，即可求得a的取值范围；
（3）构造辅助函数h（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$-2-$\frac{1}{2}$x²+x，求导，由（2）可得h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，可知h（x）＜0，即可证明$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

解答 解：（1）因为f（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1，a∈R．当a=1时，
∴f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-x+1，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$-1，
f（0）=0，k=f′（0）=-2，
曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；2x+y-2=0；
（2）由f（x）＜0可得：$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1＜0，
∴a＜（x-1）e^x，
令g（x）=（x-1）e^x，g′（x）=xe^x＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞-1，
所以a≤-1，
证明：（3）令h（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$-2-$\frac{1}{2}$x²+x．
h′（x）=-$\frac{2}{{e}^{x}}$-x+1，
由（2）可知，当a=-2时，f（2）=-$\frac{2}{{e}^{x}}$-x+1＜0，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
所以$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

点评 本题主要考查导数的综合应用：求切线方程和单调区间、极值和最值，不等式恒成立问题，根据导数的几何意义以及函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．