题目内容
15．已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）| A． | $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{x}^{2}}{64}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{48}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1 |
分析 根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．
解答 解：设动圆圆心M（x，y），半径为r，
∵圆M与圆C1：（x-4）2+y2=169内切，与圆C2：（x+4）2+y2=9外切，
∴|MC1|=13-r，|MC2|=r+3，
∴|MC1|+|MC2|=16＞8，
由椭圆的定义，M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，
可得a=8，c=4；则
b2=a2-c2=48；
∴动圆圆心M的轨迹方程：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1．
故选：D．
点评 考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中三个参数的关系：b2=a2-c2，属中档题．
练习册系列答案
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