Question

下列命题：
①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=An²+Bn是数列{a_n}为等差数列的必要不充分条件；
③在△ABC中，A=B是sin A=sin B的充分必要条件；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的实数，关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别为P，Q，
则

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是P=Q的充分必要条件，其中正确的命题是（　　）

• A、①④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①：显然a=b=c能推出右边，从右推左边时，应将式子适当变形，能够得到三数相等；
对于②：按照由和推项的方法推出通项公式，可以判断是否为充分条件，依此即可得出真假；
对于③：结合三角形内角的范围及内角和定理以及正弦函数的单调性可以判断；
对于④：举个反例即可说明必要性不成立．

解答： 解：对于①：显然必要性成立，反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，则2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①是真命题；
对于②：由S_n=An²+Bn得a₁=A+B，n≥2时，a_n=s_n=s_n-1=2An-A+B，显然n=1时适合该式，因此数列{a_n}是等差数列，故满足充分性，故②是假命题；
对于③：在三角形中A=B?a=b，又由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，则a=b?sinA=sinB，所以A=B?sinA=sinB，故③是真命题；
对于④：实际上不等式x²+x+5＞0与x²+x+2＞0的解集都是R，但是

1

1

=

1

1

≠

5

2

，故不满足必要性，故④是假命题．
故选D．

点评：本题是简易逻辑与其它知识的综合考查，实际上已命题真假的判断方法为手段考查相关的基础知识，前提是必须熟练准确理解基本概念，掌握基本方法．