Question

5．已知函数f（x）=x²-2alnx（a∈R且a＞0），若关于方程f（x）=2ax有两个相异的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x²-2alnx-2ax，求函数的导数，利用导数研究函数的极值，若方程f（x）=2ax有两个相异的实根，则等价为函数g（x）的极小值小于0，进行求解即可．

解答 解：若方程f（x）=2ax得x²-2alnx=2ax，
即x²-2alnx-2ax=0，
设g（x）=x²-2alnx-2ax，
则g′（x）=$\frac{2}{x}$（x²-ax-a），
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（舍），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
当x∈（0，x₂ ）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂ ）上是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂ ），
要使方程f（x）=2ax有两个相异的实根，则等价为g（x）=0有两个不同的解，
∴g（x₂）＜0．即g（x₂）=x₂²-2alnx₂-2ax₂＜0，即a＞$\frac{1}{2}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{1+ln{x}_{2}}$），
若满足g（x₂）=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{g{（x}_{2}）=0}\\{g′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2al{nx}_{2}-2{ax}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{ax}_{2}-a=0}\end{array}\right.$，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₂=1，
∴若g（x₂）＜0时，a＞$\frac{1}{2}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{1+ln{x}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，根据函数与方程的关系，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．