Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n+3，（n∈N^*）
（1）求通项a_n；
（2）求和

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证首项，即可求通项a_n；
（2）直接利用裂项法求解

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

的和即可．

解答： 解：（1）∵a₁=S₁=6，∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时，a₁=3≠6，
∴an=

6(n=1) 2n+1(n≥2).

…（6分）
（2）当n=1时，原式=

1

30

当n≥2时，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

•(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴原式=

1

30

+

1

2

•(

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

30

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

2

15

-

1

2(2n+3)

…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和，考查计算能力．